Uma equação do tipo y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0, é chamada de equação linear. O gráfico desta equação, ou seja, o conjunto formado por todos os pares ordenados (x,y) que satisfazem a relação y = ax + b, formam uma reta no plano cartesiano. Ou ainda, todos os pontos que têm coordenadas que podem ser colocados no formato (x, ax + b) formam uma reta no plano cartesiano, como pode ser visto em "Retas".
Com auxílio do Geogebra podemos facilmente esboçar o gráfico da equação acima. Para tanto, abra o software, digite a expressão “y=ax+b” no campo "Entrada" e tecle “Enter”. Quando perguntado se deseja criar controles deslizantes para “a” e “b” responda que sim. O gráfico obtido pode ser modificado arrastando os pontos dos controles deslizantes. Note também que na “Janela de Álgebra” é exibida a equação da reta para os coeficientes a e b selecionados nos respectivos controles deslizantes, Figura 1.
Com auxílio do Geogebra podemos facilmente esboçar o gráfico da equação acima. Para tanto, abra o software, digite a expressão “y=ax+b” no campo "Entrada" e tecle “Enter”. Quando perguntado se deseja criar controles deslizantes para “a” e “b” responda que sim. O gráfico obtido pode ser modificado arrastando os pontos dos controles deslizantes. Note também que na “Janela de Álgebra” é exibida a equação da reta para os coeficientes a e b selecionados nos respectivos controles deslizantes, Figura 1.
Figura 1
Agora selecione a opção "Ponto" na segunda caixa do menu superior da tela do Geogebra, em destaque na Figura 2, e em seguida
clique sobre a reta. Com este procedimento será exibido um ponto sobre a reta.
Clique sobre o ponto, arraste e verifique que as coordenadas deste ponto
satisfaz a equação exibida na janela de Álgebra, Figura 2. Lembre-se que para selecionar um objeto da "Janela de Visualização" é necessário que esteja selecionada a primeira caixa do menu (
). Faça alguns
testes!
). Faça alguns
testes!
Figura 2
Façamos ainda algo mais. Na mesma
tela do Geogebra, selecione a opção “Inclinação”, como mostrado na Figura 3 e,
em seguida, clique sobre a reta novamente. Fazendo isso será exibido um
triângulo retângulo que tem um cateto de comprimento 1 e a hipotenusa está
sobre a reta.
Figura 3
Agora explore o gráfico e tente
observar a relação entre os coeficientes a e b, a
equação da reta, o triângulo exibido com o último procedimento e a disposição
da reta. Anote todas as suas conclusões!
O coeficiente a da equação acima é conhecido por inclinação ou coeficiente angular da reta, pois ele influencia diretamente no ângulo formado entre a reta e o eixo x. Mais precisamente, o coeficiente a é exatamente a tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x (ou qualquer reta horizontal), Figura 4. Sendo assim, duas retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular.
Figura 4
Da geometria (euclidiana) sabemos que dois pontos determinam uma única reta para saber mais veja o tópico "Retas". Conhecendo dois pontos de uma reta podemos facilmente encontrar a inclinação desta reta, Figura 5. Por exemplo, se A(x0,y0) e B(x1,y1), então
Figura 5
Observe, a partir da construção feita anteriormente, que a inclinação é positiva quando a reta é crescente, negativa quando a reta é decrescente e zero quando a reta é paralela ao eixo x.
Já o coeficiente b da equação, chamado de coeficiente linear, é o ponto de interseção da reta com o eixo y. Pois, quando x = 0 a equação se resume a y = b. Isto é, o ponto (0,b) pertence ao eixo y e à reta. Logo, quando se altera o coeficiente b a reta mantém sua inclinação, sofrendo apenas uma translação vertical, como pode ser visto na construção feita.
Já sabemos que dois pontos determinam uma única reta. Da mesma forma, uma reta está bem definida se conhecermos um ponto dela e o ângulo formado entre esta reta e o eixo x. Isto é, existe uma única reta
que forma um ângulo α (entre 0º e 180º) com o eixo x e que contém um ponto específico. Por exemplo, existe uma única
reta que contém o ponto A(3,2) e que forma um ângulo de 45º com o eixo x,
Figura 6.
Figura 6
Sabendo que a equação de uma reta pode ser escrita na forma y = ax + b, podemos, no exemplo anterior, encontrar a equação da reta em questão. O coeficiente a é igual a tangente de 45º, isto é, 
. Sendo assim, a equação é da forma y = 1x + b. Como o ponto (3,2) pertence à reta, então suas coordenadas necessariamente satisfazem esta última equação. Logo, 2 = 1.(3) + b, isto é, b = -1. Portanto, y = x - 1 é uma equação da reta que contém o ponto (3,2) e forma um ângulo de 45º com o eixo x. Explore o applet abaixo e tente encontrar uma equação para cada uma das retas com as seguintes propriedades:
. Sendo assim, a equação é da forma y = 1x + b. Como o ponto (3,2) pertence à reta, então suas coordenadas necessariamente satisfazem esta última equação. Logo, 2 = 1.(3) + b, isto é, b = -1. Portanto, y = x - 1 é uma equação da reta que contém o ponto (3,2) e forma um ângulo de 45º com o eixo x. Explore o applet abaixo e tente encontrar uma equação para cada uma das retas com as seguintes propriedades: - Contém os pontos (3,0) e (5,1).
- Paralela a reta do item anterior e contém a origem.
- Contém os pontos (-2,1) e (3,-1).
- Contém o ponto (0,1) e tem inclinação 1.
- Contém o ponto (-1,-2) e tem inclinação 0,5.
- Contém o ponto (3,5) e é paralela ao eixo x.
- Contém o ponto (-1,1) e é paralela à reta y = 2x+3.
Como o intuito de iniciar uma familiarização com o Geogebra e aprofundar o estudo das retas segue abaixo uma lista de atividades a serem realizadas. Antes, porém, vejamos algumas instruções iniciais sobre o software.
Para construir um ponto específico no Geogebra basta digitar, entre parêntesis, suas coordenadas em "Entrada". A segunda e a terceira caixa do menu oferece opções para construir retas. E a oitava caixa permite inserir ângulos e inclinação, Figura 7.
Para construir um ponto específico no Geogebra basta digitar, entre parêntesis, suas coordenadas em "Entrada". A segunda e a terceira caixa do menu oferece opções para construir retas. E a oitava caixa permite inserir ângulos e inclinação, Figura 7.
Figura 7
Agora abra o Geogebra e tente obter as equações das retas que satisfazem as condições abaixo.
- Contém os pontos (-1,5) e (1,2).
- Paralela à reta do item anterior e contém o ponto (0,-1).
- Contém os pontos (-4,-1) e (5,1).
- Contém o ponto (2,3) e tem inclinação 2.
- Contém a origem e forma um ângulo de 45º com o eixo x. (tan 45º = 1).
- Contém o ponto (3,-2) e é paralela à reta y = - x+1.
- Contém o ponto (4,2) e é paralela ao eixo y.
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